遞歸算法

1. 前言

本節內容是遞歸算法系列之一：遞歸的介紹，主要介紹了遞歸的定義，選擇了數學歸納法這一數學模型幫助大家可以更好的理解遞歸的概念，然后明確了一個遞歸算法必須要具備的三要素，最后說明了一下哪些問題適合應用遞歸算法求解分析。

2. 什么是遞歸？

遞歸（Recursion），是計算機科學與技術領域中一種常見的算法思想。

在數學和計算機領域中，遞歸主要是指在函數的定義中使用函數自身的方法。顧名思義，遞歸主要包含兩個意思，遞和歸，這個是遞歸思想的精華所在。遞歸就是有去（遞去）有回（歸來）?！坝腥ァ?是指遞歸問題可以分解成若干個規模較小、與原問題形式相同的子問題，這些子問題可以和原問題用相同的方法來求解?！坝谢亍?是指這些問題的演化過程是一個從大到小，并且最終會有一個明確的終點，一旦達到終點，就可以從終點原路返回，解決原問題。

更為直接的說法就是：遞歸的基本思想就是把大問題轉化為相似的小問題解決。特別是在程序中的函數實現時，大問題的解決方案和小問題是一模一樣的，所以就產生解決一個問題會調用函數本身的情況，這個也是遞歸的定義。

3. 用數學歸納法理解遞歸思想

很多時候，大家都在思考遞歸在數學上面應該如何表示了，畢竟對于數學的簡單理解比起我們直接寫代碼起來還是要簡單很多的。觀察遞歸，我們會很容易發現遞歸的數學模型類似于數學歸納法，這個在高中的數列里面就已經開始應用了。數學歸納法常見的描述如下

最簡單和常見的數學歸納法是證明當 n 等于任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：

1. 證明當 n= 1 時命題成立。
2. 假設 n=m 時命題成立，那么可以 推導出在 n=m+1 時命題也成立。（m 代表任意自然數）

數學歸納法適用于將需要解決的原問題轉換為解決他的子問題，而其中的子問題又可以變成子問題的子問題，而且這些問題都是同一個模型，可以用相同的處理邏輯歸納處理。當然有一個是例外的，就是歸納結束的那一個處理方法不能適用于其他的歸納處理項。遞歸同樣的是將大的問題分解成小問題處理，然后會有一個遞歸的終止條件，滿足終止條件之后開始回歸。

數學里面有一個很有名的斐波那契數列，我們在編程求解斐波那契數列的時候就會用到遞歸的思想，在后續的內部中會具體講到。

4. 遞歸的三要素

在明確遞歸的定義及數學模型之后，我們需要掌握遞歸的三要素：

1. 遞歸終止條件；
2. 遞歸終止時候的處理方法；
3. 遞歸中重復的邏輯提取，縮小問題規模。

4.1 遞歸終止條件

按照之前的說明，遞歸應該是有去有回的，這樣遞歸就必須有一個明確的分界點，遞歸可以在什么時候結束。程序一旦達到這個臨界點，就不用繼續遞歸重復下去了。簡單來說，遞歸的終止條件就是為了防止出現無限遞歸的情況。

4.2 遞歸終止時的處理方法

如前面說到遞歸需要一個終止條件一樣，在達到遞歸的終止條件時，需要有一個對應終止條件的程序處理方法。一般而言，在達到遞歸的終止條件時，對應的問題都是很容易解決的，可以快速的給出問題的解決方案。

4.3 遞歸中重復的邏輯提取，縮小問題規模

遞歸的本質上還是要將一個大的問題分解成各個邏輯相同的小問題，所以遞歸過程中一個重要的步驟就是提取遞歸中重復的邏輯規則，以便利用相同的處理方式進行處理。

按照以上遞歸的三要素，遞歸程序的一般處理可以總結成下面的偽代碼：

recursion(big_problem){
   if (end_condition){  //滿足遞歸的終止條件
       solve_end_condition;  //處理終止條件下的邏輯
       end;  //遞歸結束
   }else {
       recursion(small_problem);  //遞歸中重復的邏輯提取，縮小問題規模
   }
}

5. 遞歸的應用場景

在日常的生活學習中，遞歸算法一般可以用來解決很多實際問題?；仡櫼幌挛覀冎皩W習的排序算法，其中快速排序利用了遞歸的思想進行解決?？偠灾f歸在很多場景中都有應用。

比如說一個常見的對于操作系統里面刪除指定路徑下的文件夾里內容以及子文件夾里面內容的操作，就可以利用遞歸思想完成。這個時候遞歸的終止條件就是判斷當前路徑是文件，就可以直接刪除；發現當前路徑是文件夾，則遞歸調用方法，進入文件夾內部刪除里面的文件內容。

總而言之，遞歸問題在現實學習科研中經常會遇到，這是一種解決問題的思路與方法，將大問題拆分成小問題，然后求解小問題之后回歸歸納，得出整個問題的求解結果。

6. 小結

本節主要介紹了遞歸的定義及基本概念，在學完本節課程之后，需要明白遞歸的基礎邏輯是什么樣的，如何自己去設計一個遞歸算法，在設計一個遞歸算法時需要考慮到哪些問題，以及我們日常中常見的遞歸問題。