試圖找出兩個向量是否線性相關或獨立。我不斷遇到錯誤“數組的最后兩個維度必須是正方形？有人可以解釋一下嗎？def Indy2Vec(v1, v2): A = np.array([v1]) B = np.array([v2]) print(A) #A =np.linalg.matrix_rank(A) A=np.linalg.solve(A,B) return Av1 = np.array([0, 5, 0])v2 = np.array([0, -10, 0])v3 = np.array([1, 2, 3])v4 = np.array([-2, -4, -6])Indy2Vec(v1,v2)
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米脂
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錯誤的問題陳述
看來你沒有解決正確的問題。正如您所說，它不能像您使用的方法一樣工作：
計算已確定的滿秩線性矩陣方程 ax = b 的“精確”解 x。
如文檔中所定義。
將您的問題寫為 是很誘人的Ax = b。但是，您需要一個 3x3 矩陣來測試向量b=[0,0,0]T，并找到一個非平凡的解決方案x來聲明所有三個向量都不是線性獨立的。但這意味著矩陣沒有滿秩。
在您的代碼中，以下表達式無法滿足函數簽名：
np.linalg.solve(np.array([v1]), v2)
并引發以下錯誤：
LinAlgError: Last 2 dimensions of the array must be square
就矩陣形狀而言，有效的調用numpy.linalg.solve是：
np.linalg.solve(np.array([v1, v2, v3]).T, np.zeros(v1.size))
但在兩個方面失敗了：
LinAlgError: Singular matrix
首先因為矩陣不是滿秩的，因此不可逆。其次，這并不能解決兩個向量的問題。
通用解決方案
import numpy as np from scipy import linalg
相反，您想要解決有關線性獨立性的更普遍的問題，可以通過評估的秩[v1, v2]T來解決：
在線性代數中，矩陣 A 的秩是由其列生成（或跨越）的向量空間的維數。這對應于 A 的線性獨立列的最大數量。
對于 numpy，您可以使用numpy.linalg.matrix_rank來執行此操作：
np.linalg.matrix_rank(np.array([v1, v2]).T) # Missing dimension: 1 np.linalg.matrix_rank(np.array([v1, v3]).T) # Full rank: 2
此方法對執行SVD 分解計算出的空奇異值進行計數，該算法的實現由scipy.linalg.svd提供：
U, s, V = linalg.svd(np.array([v1, v2]).T) # s = [11.18033989, 0.] U, s, V = linalg.svd(np.array([v1, v3]).T) # s = [5.55992016, 2.84381571]
或者對其執行高斯消元法（假設使用LU 分解）并檢查結果。scipy 包提供了scipy.linalg.lu：
p, l, u = linalg.lu(np.array([v1, v2]).T) # Null pivot: u = [[5., -10.], [0., 0.]] p, l, u = linalg.lu(np.array([v1, v3]).T) # Full rank: u = [[5., 2.], [0., 3.]]
所有這些方法都會評估矩陣列所跨越的向量空間的維數。如果矩陣是滿秩的，那么你的向量是線性獨立的。如果不是，則至少有兩個相關向量。
那么解決您的問題的一個簡單方法是：
def indep1(*args):
A = np.array(args).T
return np.linalg.matrix_rank(A) == len(args)
indep1(v1, v2) # False
indep1(v1, v3) # True
indep1(v1, v2, v3) # False
indep1(v1, np.zeros(v1.size)) # False
特例
如果您停留在 3D 向量空間中并且只需要檢查兩個向量，您還可以利用numpy.cross提供的叉積：
np.cross(v1, v2) # Colinear: [0, 0, 0] np.cross(v1, v3) # Not colinear: [15, 0, -5]
更具體的替代方案是：
def indep2(a, b):
return not np.allclose(np.cross(a, b), 0.)
indep2(v1, v2) # False
indep2(v1, v3) # True
# indep2(v1, v2, v3) # TypeError
indep2(v1, np.zeros(v1.size)) # False
它們是一個恒定的系統
正如 所建議的@MadPhycist，我們還可以評估共線向量共享標量比例因子（例如 ）的事實a = k*b，那么測試它的非防彈方法是檢查坐標之比是否恒定：
def indep3(a, b):
r = a/b # Ratio of coordinates
q = np.isfinite(r) # Filter bad ratio (zero division)
return not np.allclose(r[q], r[q][0]) # Assess all ratio are equal
indep3(v1, v2) # False
indep3(v1, v3) # True
# indep3(v3, np.zeros(v1.size)) # IndexError
如果它比以前的解決方案需要更少的計算并且不依賴于高水平的線性代數，那么它需要處理特定的情況，并且建議的實現是臭的（不要使用它）。
格拉米安法
可以安全地對兩個向量實現公開的方法，@dmuir如下所示：
def indep4(a, b):
return not np.isclose(np.dot(a,b)*np.dot(b,a), np.dot(a,a)*np.dot(b,b))
indep4(v1, v2) # False
indep4(v1, v3) # True
indep4(v3, v4) # False
indep4(v3, np.zeros(v1.size)) # False
忽然笑
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對兩個向量的簡單測試是：A 和 B 是線性相關的 iff
(A.B)*(A.B) == (A.A) * (B.B)
在哪里 。是點積。
當然，在使用浮點運算時，您必須小心測試相等性。
這可以推廣到更多的向量。V[1] .. V[n] 是線性相關的當且僅當它們的 Gramian G 是奇異的，其中
G[i,j] = V[i].V[j] (i,j=1..N)
波斯汪
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為什么不使用更簡單的算法：
def is_linearly_dependent(a, b):
non_zero = b != 0
if len(np.unique(a[non_zero]/b[non_zero])) > 1:
return False
else:
zero = np.logical_not(b)
if np.any(a[zero] != 0):
return False
return True
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