我目前正在學習一門課程，講師使用以下代碼在 Java 中實現平方根功能 -public class Sqrt { public static void main(String[] args) { // read in the command-line argument double c = Double.parseDouble(args[0]); double epsilon = 1.0e-15; // relative error tolerance double t = c; // estimate of the square root of c // repeatedly apply Newton update step until desired precision is achieved while (Math.abs(t - c/t) > epsilon*t) { t = (c/t + t) / 2.0; } // print out the estimate of the square root of c System.out.println(t); }}但是，如果我將 while 循環條件稍微更改為而while (Math.abs(t - (c / t)) >= epsilon)不是while (Math.abs(t - (c / t)) >= t * epsilon)，則對于某些輸入（如 234.0.0），程序會陷入無限循環。我使用了 Eclipse 調試器，發現我的代碼在某個點之后返回的 t 值接近 234 的平方根，但仍然大于 EPSILON。并且使用更新公式，每次迭代后都會產生相同的 t 值，因此循環會永遠卡在那里。有人可以解釋為什么程序在使用時失敗>= EPSILON但在使用時工作得很>= t * EPSILON好嗎？據我了解，鑒于 EPSILON 的值極小，t * EPSILON 最終不應與 EPSILON 相差太大，但在程序中實現時差異很大。
2 回答
Helenr
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您實際上可以使用調試器來查看數字的進展情況以及為什么例如 234 的平方根在epsilon不乘以時會導致無休止的循環t。
我已經使用帶有日志斷點的 IntelliJ 來查看數字如何進行以及為什么會發生無休止的循環：
首先，我在日志斷點中使用了這個表達式：
" " + Math.abs(t - c/t) + " " + epsilon
對于此代碼：
private static void calcRoot(String arg) {
// read in the command-line argument
double c = Double.parseDouble(arg);
double epsilon = 1.0e-15; // relative error tolerance
double t = c; // estimate of the square root of c
// repeatedly apply Newton update step until desired precision is achieved
while (Math.abs(t - c/t) > epsilon ) {
t = (c/t + t) / 2.0;
}
// print out the estimate of the square root of c
System.out.println(t);
}
這是證明實際上epsilon小于的結果，Math.abs(t - c/t)并且Math.abs(t - c/t)在其進程中停止：
233.0 1.0E-15
115.50851063829788 1.0E-15
55.82914775415816 1.0E-15
24.47988606961853 1.0E-15
7.647106514310517 1.0E-15
0.927185521197492 1.0E-15
0.014043197832668497 1.0E-15
3.2230278765865705E-6 1.0E-15
1.723066134218243E-13 1.0E-15
1.7763568394002505E-15 1.0E-15
1.7763568394002505E-15 1.0E-15
1.7763568394002505E-15 1.0E-15
1.7763568394002505E-15 1.0E-15
1.7763568394002505E-15 1.0E-15
1.7763568394002505E-15 1.0E-15
1.7763568394002505E-15 1.0E-15
...
如果我然后使用epsilon * tI 并將日志記錄表達式更新為" " + Math.abs(t - c/t) + " " + epsilon * t我可以看到完全不同的控制臺輸出：
233.0 2.34E-13
115.50851063829788 1.175E-13
55.82914775415816 5.974574468085106E-14
24.47988606961853 3.1831170803771985E-14
7.647106514310517 1.959122776896272E-14
0.927185521197492 1.5767674511807463E-14
0.014043197832668497 1.5304081751208715E-14
3.2230278765865705E-6 1.529706015229238E-14
1.723066134218243E-13 1.5297058540778443E-14
更新
如果你在BigDecimal課堂上嘗試同樣的事情，你將能夠計算 的平方根，234以防你選擇足夠的四舍五入數字（見scale下面的變量）：
private static void calcRootBig(String arg) {
// read in the command-line argument
BigDecimal c = new BigDecimal(arg);
BigDecimal epsilon = new BigDecimal(1.0e-15); // relative error tolerance
BigDecimal t = new BigDecimal(c.toString()); // estimate of the square root of c
BigDecimal two = new BigDecimal("2.0");
// repeatedly apply Newton update step until desired precision is achieved
int scale = 10;
while (t.subtract(c.divide(t, scale, RoundingMode.CEILING)).abs().compareTo(epsilon) > 0) {
t = c.divide(t, scale, RoundingMode.CEILING).add(t).divide(two, scale, RoundingMode.CEILING);
}
// print out the estimate of the square root of c
System.out.println(t);
}
但是，如果您只選擇 3 作為舍入比例，您將再次陷入無休止的循環。
因此，在您的情況下，實際上是浮點除法的精度導致了無休止的循環。的乘法epsilon * t只是克服默認浮點運算中舍入精度不足的一個技巧。
拉風的咖菲貓
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double具有大約 15 位精度（或 1 到 2^52 或 4.5e15）。當您計算t * epsilon您需要 1 與1e15/234可能的比率的誤差double時，當您使用時，epsilon您需要 1 與 1 的比率，該比率處于1e15double 精度的極限，除非它是一個精確值并且錯誤是0. 例如，試試這個256，它可能會起作用，但任何不是精確值的東西都可能不起作用。
對任意端點的簡單解決方案是，一旦錯誤從一次迭代到下一次迭代沒有改善，就停止。這將為您提供使用此公式的最準確的解決方案。
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