根據$n$的奇偶性分開討論。以下只討論偶數的情況。若$n$為奇數，可用類似方法證明，過程略。
若$n$為偶數$n=2m$：
$$
\array{
&&\sum_{k=1}^n\frac{(k-1)!!}{k!!}\hfill\\
&=&\sum_{k=1}^m\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}+\sum_{k=1}^m\frac{(2k-2)!!}{(2k-1)!!}\hfill&\text{(奇偶項分開求和)}\hfill\\
&=&\sum_{k=1}^m\frac{(k-1/2)!}{k!}+\sum_{k=1}^m\frac{(k-1)!}{2(k-1/2)!}\hfill&\text{(分子分母連續約去公因子2)}\hfill\\
&=&\left(\frac{2(m+1/2)!}{m!}-1\right)+\left(\frac{m!}{(m-1/2)!}-1\right)\hfill&\text{(可歸納證明，見下文)}\hfill\\
&\ge&2\sqrt{\frac{2(m+1/2)!}{(m-1/2)!}}-2\hfill&\text{(基本不等式)}\hfill\\
&=&2\sqrt{2(m+1/2)}-2\hfill\hfill\\
&=&2(\sqrt{n+1}-1)\hfill
}
$$
第二步中，仍用符號$!$表示半整數的階乘，比如$(5/2)!=(5/2)(3/2)(1/2)$。第三步的結論可用歸納法。比如證明
$$
\sum_{k=1}^m\frac{(k-1/2)!}{k!}=\frac{2(m+1/2)!}{m!}-1
$$
只要驗證$m=1$時等式成立，并且
$$
\array{
&&\frac{2(m+1/2)!}{m!}-1+\frac{(m+1-1/2)!}{(m+1)!}\hfill\\
&=&\frac{(m+1/2)!(2(m+1)+1)}{(m+1)!}-1\hfill\\
&=&\frac{2((m+1)+1/2)!}{(m+1)!}-1\hfill
}
$$
                            

n=1、2時顯然成立
假設n=m時成立，則：
$$
2(\sqrt{m+1}-1)\le\sum_{k=1}^m\frac{(k-1)!!}{k!!}
$$
$$
2(\sqrt{m}-1)\le\sum_{k=1}^{m-1}\frac{(k-1)!!}{k!!}
$$
$$
2(\sqrt{m-1}-1)\le\sum_{k=1}^{m-2}\frac{(k-1)!!}{k!!}
$$
當n=m+1時：
$$
左側=2(\sqrt{m+2}-1)
$$
$$
右側=\sum_{k=1}^{m+1}\frac{(k-1)!!}{k!!}=\sum_{k=1}^m\frac{(k-1)!!}{k!!}+\frac{m!!}{(m+1)!!}
$$
因此只要證明下式即可：
$$
\sum_{k=1}^m\frac{(k-1)!!}{k!!}+\frac{m!!}{(m+1)!!}-2(\sqrt{m+2}-1)\ge0
$$
……
接下來就是想辦法證明這個不等式。但是把
$$
\sum_{k=1}^m\frac{(k-1)!!}{k!!}
$$
直接替換成：
$$
2(\sqrt{m+1}-1)
$$
不行（我之前就是這么做的），會導致縮放過頭。目前還沒想到證明方法。
另外
$$
\frac{m!!}{(m+1)!!}
$$
可以寫成
$$
\frac{(m-2)!!}{(m-1)!!}*\frac{m}{m+1}
$$
這個可能可以用在推導過程中。