LCP数组： longest common subsequence 的秘密武器

引言

对于任何涉及字符串比较的问题，我们都可以想到 Longest Common Subsequence (LCS) 算法[1]。作为一种经典的解决方法，LCS 提供了一种高效的方法来找到两个字符串之间的最长公共后缀，或者找到一个字符串中最长的连续字符序列。本文将深入探讨 LCP 数组，这个在 LCS 算法中起到至关重要作用的数据结构。

LCP 数组的理解

首先，我们需要理解什么是 LCP 数组。LCP 数组是一个二维数组，其每一个元素都代表了两个字符串在对应位置上的最长的公共前缀的长度。如果两个字符串相等，那么它们之间的 LCP 值就是这两个字符串的长度。如果两个字符串不相等，那么 LCP 值就代表了从第一个字符串到第二个字符串的最短路径长度。

如何构建 LCP 数组？

假设我们有两个字符串 A 和 B，我们可以通过动态规划的方式构建出它们的 LCP 数组。具体来说，我们定义一个四维数组 D，其中 D[i][j][k][l] 表示字符串 A 的前 i 个字符与字符串 B 的前 j 个字符的匹配情况。如果 A[i-1] == B[j-1]，那么 D[i][j][k][l] = D[i-1][j-1][k-1][l-1] + 1。否则，D[i][j][k][l] = max(D[i-1][j][k][l], D[i][j-1][k][l])。最后，我们得到的 LCP 数组就是 D[m][n][m][n]，其中 m 和 n 分别是字符串 A 和 B 的长度。

LCP 数组的重要性

LCP 数组在解决字符串匹配问题，特别是寻找最长公共后缀问题中，起到了至关重要的作用。有了 LCP 数组，我们就可以在 O(m+n) 的时间复杂度内解决这个问题，其中 m 和 n 分别是字符串 A 和 B 的长度。此外，LCP 数组的 space 复杂度也是 O(m+n)。

总结

本篇文章介绍了 LCP 数组在解决字符串匹配问题中的重要性，并详细解释了如何构建 LCP 数组。作为一种核心数据结构，LCP 数组在许多涉及字符串比较的问题中都有广泛的应用。理解 LCP 数组的工作原理，可以帮助我们更有效地解决实际问题。