152. 乘积最大子数组

题目来源：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-product-subarray/

题目

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

示例 1:

输入: [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

解题思路

思路：动态规划

这道题跟之前【53. 最大子序和】 题有点类似，不过这里要求的是乘积最大值。

因为两道题要求都是连续的，在这里，我们可以这样进行状态设计，也就是以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大值。

现在具体看下如何进行状态设计、推导状态转移方程，进而加以实现。

因为数组中存在着负数，所以有可能导致乘积会从最大变为最小，同样的，最小也可能变为最大。这里需要注意。

现在，先进行状态设计：

d[i][j]： 表示以 nums[i] 结尾的连续子数组的最值。在这里，j 决定计算的是最大值还是最小值。

• 其中当 j = 0 时，表示计算的是最小值，
• 当 j = 1 时，表示计算的是最大值。

现在推导状态转移方程：

因为是乘积的关系，nums[i] 数值的正负，与前面的状态值是有联系的，具体如下：

• 当 nums[i] > 0 时：
  • 与最大值的乘积依然是最大值
  • 与最小值的乘积依然是最小值
• 当 nums[i] < 0 时：
  • 与最大值的乘积变为最小值
  • 与最小值的乘积变为最大值
• 当 nums[i] = 0 时，这里无论最大最小值，最终结果都是 0，这里其实可以合并在上面任意一种情况。

但是还有需要注意的地方，这里前面的状态值的正负也是会影响最终的最值。假如，前面的最大值是负数的情况下，也就是 dp[i-1][1] < 0，但这是 nums[i] > 0 的情况下，这里就要重新考虑，此时的最大值应该是 dp[i][1] = nums[i]。

按照这个思路，将所有情况的状态转移方程都写出来，具体如下：

dp[i][0] = min(nums[i], dp[i-1][0] * nums[i]) if nums[i] >= 0
dp[i][1] = max(nums[i], dp[i-1][1] * nums[i]) if nums[i] >= 0

dp[i][0] = min(nums[i], dp[i-1][1] * nums[i]) if nums[i] < 0
dp[i][1] = max(nums[i], dp[i-1][0] * nums[i]) if nums[i] < 0

具体的代码实现如下。

代码实现

class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        if len(nums) == 0:
            return 0
        
        length = len(nums)
        # 初始化
        # dp 数组有两个元素，一个存储最大值，一个最小值
        dp = [[0] * 2 for _ in range(length)]
        # 初始化数组首元素为最大值和最小值
        dp[0][0] = nums[0]
        dp[0][1] = nums[0]
        #　开始遍历
        for i in range(1, length):
            # 状态转移方程
            if nums[i] > 0:
                dp[i][0] = min(nums[i], dp[i-1][0] * nums[i])
                dp[i][1] = max(nums[i], dp[i-1][1] * nums[i])
            else:
                dp[i][0] = min(nums[i], dp[i-1][1] * nums[i])
                dp[i][1] = max(nums[i], dp[i-1][0] * nums[i])

        # 因为最终要求得最大值，那么在 dp[i][1] 找得最大即可
        # 初始化返回值
        res = dp[0][1]
        for i in range(1, length):
            res = max(res, dp[i][1])
        return res

实现结果

以上就是使用动态规划，根据题意进行状态设计，推导出状态转移方程，用代码加以实现，进而解决《152. 乘积最大子数组》问题的主要内容。